浅谈特征值与特征向量的应用开题报告

1. 研究目的与意义

矩阵的特征值与标准型是矩阵知识的重要部分。矩阵是数学知识中最为璀璨的成果之一，是代数学的奠基内容之一，其中的基础知识进入高等院校学子的数学必修课程之中，而矩阵的深入研究几百年来也一直是数学深造研究的重要领域。

矩阵特征值领域的探索应用可使学习者更加深入了解代数学的发展与逻辑框架，熟练掌握矩阵特征值的解题思路，大致了解矩阵特征值在数学解题方面、数学深入拓展方面、其他学科与实际生活当中的广泛运用。对于广大学习者而言，对矩阵特征值的探索有利于促进对更加进阶的数学研究的兴趣以及思维应用的广度；对于社会而言，对于矩阵中重要知识的研究与探索有利于数学体系向前发展以及整个理工科知识体系的发展，有利于研究成果在社会实践中更多领域的应用。

2. 研究内容和预期目标

关于矩阵以及线性变换的特征值与特征向量，研究部分概括如下：

1、方阵的特征值以及特征向量；

2、欧式空间线性变换的特征值以及特征向量；

3. 国内外研究现状

矩阵早在公元前便在中国的数学著作《九章算术》中有所描述，但最终因为经验主义，只是成为解决问题的工具而未能系统阐述研究。其作为系统理论，最早于19世纪中期被英国的数学家希维尔斯特提出，是顺应当时求解较为复杂的线性方程组而产生的代数学理论。后来矩阵承接行列式的研究结果与流程，被英国数学家凯莱应用于线性变换之中，凯莱定义了例如矩阵运算法则等的矩阵基本概念，并给出了特殊矩阵例如行列相等矩阵的特征值与特征方程等的众多研究结果，这大大拓展了矩阵在数学方面的应用，并在可与矩阵相互转化的线性变换领域增添了更多可研究方向。

矩阵的特征问题是代数学计算中的重要组成，也是当前活跃的计算机科学与数值代数中备受重视的研究课题，

为众多的理工类学科的发展提供了可利用数学方式解决问题的途径，在物理学、工程学、计算机科学等领域有巨大的辅助作用，并且在实际应用方面与其他的学科相辅相成，共同推进科学与知识的进步。

4. 计划与进度安排

1、对于特征值与特征向量的由浅入深进行定义及研究探索，

从代数学学习时的基础部分：方阵的特征值及特征向量开始入手，

逐渐拓展到代数学学习时较难的部分：欧式空间及酉空间线性变换特征值及特征向量；

5. 参考文献

[1] 王萼芳,石生明. 高等代数(第四版)[m]. 北京:高等教育出版社.2013:290-298.

[2] 戴华.矩阵论[m]. 北京:科学出版社.2013

[3] 雷纪刚，唐平，田茹.矩阵论及其应用[m].北京:机械工程出版社.2003