连续而不可微函数的构造及性质开题报告

1. 研究目的与意义

连续而不可微的函数有其重要的价值与意义。

连续而不可微函数在函数中是极为特殊的存在，它的构造与发展对数学的发展产生了不可磨灭的影响，促成了“分形几何”的产生。

对其展开思考可以使得对函数的可微性与连续性的理解层次上升。

2. 研究内容和预期目标

研究内容： 寻找并构造一些连续而不可微的函数，对其性质与应用展开研究与思考。 首先在闭区间[a, b]上构造一些处处连续但处处不可微的一元函数，得到平面上一些“粗糙”曲线。然后将构造方法推广至三维空间，得到定义在平面矩形[a, b]*[c, d]上的二元连续而不光滑的曲面。讨论这些曲线和曲面的性质。

拟解决的关键问题：

一、如何去构造闭区间上处处连续而不可微的函数

3. 国内外研究现状

国内外对连续而不可微函数的研究已经持续了约两百年。

各个时期数学家陆陆续续构造出了各式各样这样的函数。

最开始轰动一时的是weierstrass的反例构造出来，因为对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。

4. 计划与进度安排

开题报告（二一年十二月底)

中期检查（二二年三月至四月)

初稿（四月底之前）

5. 参考文献

[1]数学系分析教研组. '连续而不可微的函数.' 杭州师范大学学报：社会科学版 s1(1980):7.

[2]吕冬梅, 王宏勇. '一类无处可微连续函数的构造及其几何性质.' 淮北煤师院学报:自然科学版

[3]王彩芬. '用函数级数构造连续不可微函数的一般方法.' 青岛大学学报：自然科学版 21.1(2008):3.