函数列与函数项级数的收敛与一致收敛开题报告

1. 研究目的与意义

函数列与函数项级数是数学分析课程中的一个重要内容，是由数列与数项级数演化而来的，是对初等数学函数进行表达的一种工具，在数学科学和工程技术研究中有着广泛的应用，而它们的收敛与一致收敛性在应用过程中起着十分重要的作用，所以该课题值得深入研究。另外，在学习数学分析、分析学选讲、复变函数课程中，以及复习考研数学的过程中，对级数理论的有关知识有了一定程度上的提升，感受到级数的巨大魅力，产生深入研究级数的热情。

2. 研究内容和预期目标

本课题的研究对象为函数列级数与函数项级数，主要讨论函数列和函数项级数的收敛与一致收敛之间的关系，并给出收敛与一致收敛序列和级数的若干应用。

写作提纲：

首先，给出该课题的研究背景与意义，通过阅读参考文献，梳理级数发展的脉络，总结国内外已有研究结果及研究现状。其次，列举函数列与函数项级数的有关概念，讨论收敛与一致收敛之间的区别与联系，以例题加以说明，并用matlab绘图进行直观展示。接着，给出函数列和函数项级数收敛与一致收敛的性质及判别方法，并辅以例题展示判别法的应用。最后，结合matlab编程实例，利用特殊的函数项级数，如幂级数、傅里叶级数等，展示函数列与函数项级数的收敛与一致收敛性在数学科学、工程技术等领域的应用。

3. 国内外研究现状

通过对比国内外有关函数列和函数项级数收敛与一致收敛文献的发表数量，可以看到：与国外相比，国内对级数相关的研究较少，且多集中于一致收敛的判别问题上。通过阅读国内外文献内容，可以发现：在研究级数的收敛性问题上，学者们比较关注傅里叶级数的收敛与一致收敛问题，以及其与其他函数的联合问题；也有部分学者关注模糊序列、正项函数项级数等的收敛性问题，还有许多学者将级数理论应用到概率论、物理、工程等领域，研究一些概率密度函数、格林函数展开式等的收敛性。

4. 计划与进度安排

1月10日-1月20日：通读参考文献，梳理级数发展历程，纵向对比古代数学家关于函数项级数的研究与现代数学家的发现，横向对比国内外有关函数项级数的研究成果，着手撰写引言、函数列与函数项级数收敛与一致收敛相关概念、性质。

1月21日-1月30日：梳理参考文献中对级数收敛与一致收敛判别的方法，总结归纳，对比各类判别法的优劣及适用情形，形成论文第二部分。

2月7日-2月28日：研读函数列与函数项级数收敛性应用的有关文献，熟悉matlab算法，理解文献中级数收敛在matlab编程实例中的应用价值，总结创新函数列和函数项级数收敛与一致收敛在数学科学、工程技术中的应用，形成论文最后一部分。

5. 参考文献

[1]华东师范大学数学系, 数学分析(下册)[m]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2010. 6: 28-46．

[2]张亦霄, 田黄佳. 正项函数项级数一致收敛的raabe型判别法的推广[j]. 大学数学, 2015, 31(6): 60-66.

[3]王瑜, 钟粤敏. 正项函数项级数一致收敛的gauss指标判别法[j]. 闽南师范大学学报(自然科学版), 2019, 32(6): 116-122.