Appell方程的梯度表示及其稳定性分析开题报告

1. 研究目的与意义

研究背景

appell方程是一种常见的偏微分方程，它在数学物理学中有着广泛的应用，该方程是由数学家appell首先提出，此后，广泛应用于量子力学，热力学，流体力学等领域，appell方程的研究主要集中在：解析解的研究，数值解的研究以及稳定性分析。

appell方程是非完整系统独具特色的一类方程，凡涉及非完整力学的著作几乎都会介绍appell方程。此类方程系统所受的约束反力不直接出现在方程上，并且具有形式简单的优点。系统的稳定性问题是控制理论研究的一个重要课题，研究appell方程的稳定性很有意义，而梯度系统是一类重要的力学系统，对研究系统的解和稳定性都很方便。如果将appell方程在一定条件下化为梯度系统，就能得到系统的势函数，而此时的势函数v一般都取lyapunov函数，那么就可以利用梯度系统的性质和lyapunov方法研究系统的稳定性。用梯度方法研究非完整系统的稳定性的优势在于避免了直接利用微分方程构造 lyapunov 函数的困难，而且不用求其导数就可判断系统解的稳定性。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：
1.掌握appell方程的微分表达形式。

2.研究appell方程化为基本梯度系统以及二重梯度系统的条件。

3.利用lyapunov函数研究梯度系统的稳定性问题。

3. 研究的方法与步骤

本课题研究Appell方程的梯度表示及其稳定性分析。拟采用的研究方法和步骤为：先建立双面理想完整系统的Appell方程及其一阶形式，给出Appell方程化成广义梯度系统的条件，若Appell方程满足条件可以广义梯度化，则求解势函数V，并使V成为Lyapunov函数，从而利用Lyapunov方法研究系统解的稳定性；如果势函数不能成为Lyapunov函数，则利用梯度系统性质与Lyapunov一次近似理论来研究系统的稳定性。

4. 参考文献

[1] 梅凤翔,吴惠彬.约束力学系统的梯度表示[m].北京:科学出版社,2016.

[2] 梅凤翔. 关于appell方程-分析力学札记之二十八[j]. 力学与实践,2016(3).

[3] 梅凤翔. 关于梯度系统——分析力学札记之十八 [j]. 力学与实践, 2012, 34(1): 89-90.

5. 计划与进度安排

（1）：2月20日-3月12日：文献检索，提交开题报告

（2）：3月13日-4月16日：论文研究，提交外文翻译初稿