有限差分方法在经济学中的应用开题报告

1. 研究目的与意义

数学这一学科从建立到现在,发展极为迅速,在人们的生活中也得到了越来越多的应用,人们把数学理论和生活实际相结合,这样不仅解决了实际问题,还发展了数学理论.有限差分方法（FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用,该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法,并且出现了许多新的思路和方法,如守恒差分格式,时间相关法,分步法等.这让有限差分方法获得了更加广阔的应用前景,成为解决各类数学物理以及经济问题的主要方法.本文将着重介绍有限差分方法在经济学中的相关应用.

2. 研究内容和预期目标

研究内容:在阅读了相关有限差分方法的书籍和资料后,本文将叙述研究有限差分方法的意义和背景,有限差分方法的定义,常见的解法以及有限差分相关模型.应用模型中包括问题的提出,模型举例和分析,提出假设,模型建立,模型求解,结果分析等步骤,从而对模型进行更深层次的分析,做到进一步的推广.

拟解决的关键问题:本文主要研究期权定价问题的有限差分方法,如b-s期权定价的有限差分法及其他期权定价的有限差分法.选取经典的期权定价模型,将有限差分方法应用其中,将实验数据分析阐明,

写作提纲:

3. 国内外研究现状

期权定价问题的数学理论研究从20世纪初就已经开始兴起,直到如今都是金融界国内外学者所关注和研究的热点.早在20世纪初期就已经出现了期权定价的雏形,比如bachelier(1900)^[1]首次在股票价格运行中引入随机游走的思想得到了著名的欧式期权定价公式.接下来期权定价理论发展缓慢，直到20世纪60年代关于期权定价理论的研究才又重新开始活跃起来.sprenkle (1961)^[2]改进了bachelier 期权模型，在随机运动中引进漂移排除了证券价格取值为负的情况，然而不足之处在于参数的估计难以实现,这就降低该公式的实用价值.boness(1964)^[3]利用股票的期望收益率并通过将到期股票价格贴现来计算货币的时间价值从而获得了一个期权定价公式.samuelson(1965)^[4]允许期权中含有来自股票不同层次的风险并提出了一个新的期权定价模型,但该模型的不足之处同样在于参数的估计.尽管这三个模型都未突破bachelier的假设,但它们在处理风险厌恶度、货币时间价值、期权和股票风险上做出了非凡的探索,为期权理论的进一步发展奠定了良好的基础.1973年是非同寻常的一年,因为在这一年具有金融里程碑意义的black-scholes公式诞生了.这一年,black和scholes^[5]在其论文中运用随机微分方程理论推导出了期权定价模型.同年,merton^[6]在很多方面作了重要的推广,使得期权定价理论取得了突破性的进展.至此便推导出了著名的black-scholes期权定价模型(以下简称为b-s期权模型)，并建立了看涨期权定价公式: c=sn（d₁）-ke^-rtn（d₂） 该模型绝对是金融衍生产品发展历程中的里程碑成果,它的出现加剧了现代金融衍生品市场的快速发展.把所有投资人引向同一个风险中性世界是该成果的最大创新之处.

在国内,对带有交易成本的期权定价模型的研究同样吸引了大批学者.郑小迎,陈金贤(2001)^[7]用证券组合的方法构造了一个带交易费用的欧式期权定价模型,并利用二项式定价模型进行了有效的验证.王建,李超杰,何建敏(2006)^[8]基于garch扩散过程把一个规范的black-scholes期权定价模型推广到含交易费用的情形,并与leland模型进行比较后发现两者之间仅存在很小的误差.张铁^[9]对美式看跌期权二叉树模型的缺陷进行了分析,并利用随机误差校正方法构造出一个新型的二叉树参数模型,该模型避免了负的概率并且具有较高的精度.很多研究工作者将数值算法应用到实际问题中.

有限差分法:

4. 计划与进度安排

（1）2022年11月上旬,理解论文题目的内涵,拟定查阅文献的计划;

（2）2022年11月下旬,查阅文献,研究开题报告;

（3）2022年12月中上旬,完成开题报告,熟悉论文中涉及到的关键点,掌握论文的写作方法;

5. 参考文献

[1] bachelier.louis throriede la speculation.annales normale superieure，1900，17:21-86

[2] sprenkle c. m.. warrantprices as indicators of expectations and preferences in the random character ofstock market prices, ed. paul h. cootner,cambridge: mit press，1964，412-474

[3] boness a.j..elements of atheory of stock option value. journal of political economy 1964，72:163-175