关于线性方程组的迭代法求解开题报告

1. 研究目的与意义

目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有的优点是：需要计算机的存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度的问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法，当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速还有待进一步研究。

科学研究与生产实践中许多问题都可归结为线性方程组的求解，高效求解线性方程组成为许多科学与工程计算的核心.解线性方程组的传统方法是利用高斯消元法或矩阵的三角分解法等直接求解，虽然传统方法具有理论上直接得到真解的优点，但当系数矩阵条件数很大时，存在严重的稳定性问题.同时，当系数矩阵的非零元结构不规则或带宽较大时，其计算量与存储量也十分地大.

与直接法相比，迭代法只需存储原系数矩阵、对应于预处理的几个辅助矩阵和少量的几个向量，且迭代中除求解辅助线性方程组外，其余的计算主要是系数矩阵与向量的乘积，从而能充分利用系数矩阵的特性来减少计算量.而且随着计算机技术的发展，计算机的存储量日益增大，计算速度也迅速提高，线性方程组的迭代求解在科学与工程计算中也起着越来越重要的作用。

2. 研究内容和预期目标

一、研究内容：

1、jacobi迭代法

将方程组中的系数矩阵a分解成三部分，即：a = l d u.其中d为对角阵，l为下三角阵，u为上三角矩阵。之后确定迭代格式，x^(k 1) = b*x^(k) f ，（这里^表示的是上标，括号内数字即迭代次数），如图2所示，其中b称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为j。（k = 0,1，......）再选取初始迭代向量x^(0)，开始逐次迭代。

3. 国内外研究现状

在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如ax=b的大型线性方程组。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组ax=b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如jacobi方法、gauss-seidel方法、sor方法、ssor方法，者即种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。

大量偏微分方程的离散形式是大规模线性代数方程组，其数值计算是科学工程计算的核心，占有绝大部分的总运算时间，解大规模稀疏线性方程组的krybv子空间方法显示出与众不同的有效性。当矩阵是对称正定时，常用的方法是具有短递推的共轭梯度方法（cg）。系数矩阵不对称时，常用的方法中有完全正交化方法（fom）和广义最小残量方法（gmres）。

还有很多迭代方法正在被人们发现和研究。新的有效的方法层出不穷，其中基于大型洗漱非hermitian的的正定阵的系数矩阵的hemitian和skew-hemitian分解的hss方法，hss方法等具有非常好的实用性。

4. 计划与进度安排

2022年11月9日至2022年11月25日：学习规范化要求，搜集并查阅资料，确认选题

2022年11月26日至2022年12月12日：初拟开题报告及提纲并上交

2022年12月13日至2022年1月15日：完善开题报告及提纲，着手翻译

5. 参考文献

[1]杜衡吉.jacobi和gauss_seidel迭代法求解线性方程组的分析及应用[j].曲靖师范学院学报.2011

[2]徐亚平.关于解线性方程组的迭代法[j].汉中师范学院学报(自然科学).1997

[3]李辉.解线性方程组的sor和aor迭代法收敛的新判别准则[j].沈阳电力高等专科学校学报.1999