线性方程组数值解法及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

在科技、工程技术、社会经济等各个领域中很多问题常常归结到求解线性方程组.例如电学中的网络问题，样条函数问题，构造求解微分方程的差分格式和工程力学中用有限元方法解连续介质力学问题，以及经济学中求解投入产出模型等都会用到求解线性方程组.而数值分析法为解线性方程组提供了更快捷简便的算法.数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象，为计算数学的主体部分.数值分析应用的范围很广，比如对冲基金会利用各种数值分析的工具来计算股票的市值及其变异程度，保险公司会利用数值软件进行精算分析.

2. 研究内容和预期目标

研究内容：1.直接法：包括高斯消去法、LU分解，对于对称矩阵（或埃尔米特矩阵）及正定矩阵可以用乔莱斯基分解，非方阵的矩阵则可以用QR分解；2.迭代法：包括有雅可比法、高斯#8211;塞德迭代法、逐次超松驰法（SOR）及共轭梯度法，一般会用在大型的线性方程组中；3.对于超松弛法的松弛因子取值对线性方程组迭代的影响；4.应用实例：在经济领域上应用线性方程的数值解法巧妙解决经济问题.写作提纲：1.前言；2.有关数值解法的理论；3.经济领域上的应用；4.结束语.

3. 国内外研究现状

对于线性方程组的求解，在中国古代的《九章算术》里面，解线性方程组的#8220;方程术#8221;方法是世界上最完备、最先的求解方法，而刘徽则提出了相对系统的方程理论.线性方程组的研究在西方是在17世纪由莱布尼茨最先开始的.随着现在科学技术的不断发展，有效地求解线性方程组在解决实际问题中越来越重要.由于在工程技术、科学研究中、实验设计等很多的方程组中，未知量往往过多，只能借助计算机才能快速解决，线性方程组的数值解法就是比较重要的方法.线性方程组的数值解法在国内外都已有一定研究，比如关于病态线性方程组的迭代解法、线性方程组解结构的历史研究、线性方程组的迭代解法及其Matlab实现程序等.

4. 计划与进度安排

本文将分为四个部分来撰写，第一部分前言讲线性方程组的重要性及其历史；第二部分引出线性方程组的数值解法的基本概念；第三部分讲线性方程的几种数值解法（SOR数值解法、超松弛法、迭代法、消元法等）；最后一个部分介绍线性方程组的数值解法在经济学领域的研究中的作用.

5. 参考文献

[1]李庆扬.数值分析复习与考试指导[M].北京：高等教育出版社，2000. [2]林成森.数值计算方法（上册）[M].1998. [3]李书刚.线性代数[M].北京：科学出版社，2010. [4]王萼方，石生明.高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2008. [5]王超能.计算方法[M].北京：高等教育出版社，2006. [6]李庆扬、王超能、易大义.数值分析（第4版）[M].武汉：华中科技大学出版社，2006. [7]John H.Mathews、Kurtis D.Fink.Numerical Methods Using MATLAB(Fourth Edition)[M].电子工业出版社，2009.