求解一类拟线型外问题的耦合法开题报告

1. 研究目的与意义

许多科学计算和工程技术问题都归结为无界区域上的偏微分方程边值问题。数值求解边值问题的传统方法如有限元法和有限差分法尽管对有界区域问题非常有效，但无界区域问题则难以获得理想的精度。为克服这一困难，我国学者冯康和余德浩首创并发展了自然边界元方法（或dtn法）。它与经典边界元法相比具有独特的优点：它有着较高的数值稳定性;能与传统的有限元方法基于同一变分原理自然而直接的耦合;保持原问题的重要性质。对于无界问题，基于自然边界归化的耦合算法及区域分解算法是一种十分有效的手段。

自然边界元方法已经成为边界元方法的一个新的分支，引起了国内外同行的广泛的关注和兴趣。自70年代以来，有限元和边界元耦合法已逐渐成为求解无界区域问题的主要方法。尤其是自然边界元与有限元耦合法更有许多独特的优点。但耦合法刚度矩阵已不再是带状稀疏，已有的有限元程序也不能直接应用。自80年代起又兴起了区域分解法，这一算法把计算区域分成若干子区域分别求解并通过迭代获得整体近似解。余德浩基于自然边界归化提出了求解无界区域的重叠型和非重叠型区域分解算法，并证明了该算法的可行性及其有效性。

近年来，非线性问题备受关注。许多作者已开始用有限元与自然边界元耦合法来处理非线性问题。其具体做法大致可分为两类：第一，通过引入人工边界，将原区域分解为一有界区域与无界区域，有限元与边界元分别用于这两个区域进行耦合计算; 第二，对于一类特殊的非线性问题（拟线性问题），可以通过引入kirchhoff变换化为线性问题，再用耦合法进行求解。这两类方法很巧妙地利用了有限元与边界元各自的优点，对这一方法的进一步研究仍然是一件十分有意义的事情，它对实际问题的应用作用是巨大的。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：

1．用自然边界元与有限元耦合法来解决非线性问题，其中包括自然积分算子、poisson积分公式的计算，解的适定性分析，误差分析等。

2. 通过扰动分析将现有的人工边界推广至更一般的人工边界，以期能减少求解区域范围，提高求解精度。

3. 国内外研究现状

边界归化的思想在十九世纪已出现，但将边界归化应用于数值计算并以此为目的的深入研究边界归化理论则是从二十世纪六十年代才开始的，并且随着计算机的广泛应用得到蓬勃的发展。边界归化的途径有很多，不同的边界归化途径可能导致不同放入边界元法。边界元法已被应用于弹性力学、断裂力学、流体力学、电磁场和热导学等领域的科学研究和工程技术的数值计算。

二十世纪七十年代末，我国学者冯康先生和余德浩教授首创并发展了自然边界元法，此法是从green函数和green公式出发，将微分方程问题归化为边界上的强奇异积分方程，然后化为相应放入变分形式在边界上离散化求解的一种数值计算方法，国外学者将其称为dtn法。余德浩专著的出版，则是椭圆型问题自然边界元法趋于成熟的重要标志。

区域分解法是上世纪八十年代崛起的新方向，由于该方法能将大型问题分解为小型问题，复杂边值问题分解为简单边值问题，串行问题分解为并行问题，区域分解算法已成为当今计算数学的热门领域，其趋势方兴未艾。

4. 计划与进度安排

1、2022年11月27日（本学期第十三周）：完成选题工作

2、2022年1月15日（本学期结束）前：阅读资料，选择文献待用，完成开题工作

3、2022年4月10日前：完成初稿和中期检查工作

5. 参考文献

[1]d.n. arnold, p.g. ciarlet, p.l. lions,nonlinear partial differential equations and their applications,north-holland, 2002

[2]w.z. bao, h.d. han,error bounds for the #64257;nite element approximation of an incompressible material in an unbounded domain,numer. math. 2003

[3]c. carstensen, j. gwinner,fem and bem coupling for a nonlinear transmission problem with signorini contact,siam j. numer. anal. 1997