非线性微分方程的奇点分析开题报告

1. 研究目的与意义

鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义，其基本理论知识与经典方法已公认为是大学生特别是理工科大学生所必须掌握的。由常微分方程的知识可知, 在局部的定性分析中, 非线性系统在正常点附近的轨线结构是平凡的, 复杂的现象出现在奇点附近, 因此奇点就成为非线性系统定性理论中一个非常重要的研究对象。

奇点的稳定性和极限环的存在性对于其他各个学科的的研究都有一定的应用，例如经济学、生物学等。这就要求我们对非线性微分方程的奇点和极限环有一定的了解性。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：

(1) 常微分方程奇点和极限环的概念

(2) 判断微分方程奇点稳定性的方法

3. 国内外研究现状

微分方程定性理论是数学和应用科学中的重要学科,在poincare和lyapunov等著名数学家的先导下,今天数学、力学和物理工作者对此表现出浓厚的兴趣.奇点的分类和稳定性、各种特殊轨迹的存在性,,获得了举足轻重的关注.讨论奇点的稳定性占重要的位置。

关于极限环理论，国内众多专家、学者做了大量工作，特别是在平面二次系统极限环的存在性、唯一性、个数和相对位置等方面。秦元勋、蒲富全对二次系统提供了在奇点附近构造出具有三个极限环的具体例子的方法。后来，陈兰荪、王明淑举出了平面二次系统至少存在四个极限环的例子，否定了平面二次系统极限环个数小于等于的错误结论，这是一个大的推进。

4. 计划与进度安排

1、介绍奇点以及极限环的概念、判断奇点稳定性的方法；

2、通过查阅相关文献，介绍多项式系统奇点稳定性及极限环的存在性；

5. 参考文献

[1]张芷芬,丁同仁,黄文灶,董镇喜.微分方程定性理论.北京:科学出版社,1985

[2]吕洪范,非恢性微分方程存在极限环的充兮条件,东北人民大学学报,1(1957),61一70

[3]王高雄.一类非线性微分方程极限环的存在唯一性.中山大学学报,1989,28(2)