多种极值及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

极值指一个函数的极大极小值，是函数性态的一个重要特征，是数学课程的一个重要研究内容。极值问题与最值问题密切相关，许多生产，生活中的实际问题都能通过建立数学模型转化为极值最值问题。通过研究极值的必要条件以及用极值定义讨论出间断点可以找出所有极值点，而极值的充分条件可以用来判定极大极小值，又根据闭区间上连续函数一定存在最大最小值性质可以将极值的求法与最值的求法相结合。此外，在实际问题中，更多的将遇到多元函数的问题，因此探讨多元函数极值就显得尤为重要，二元函数无条件极值同样有充分条件来求得判定和求出极值，而多元函数无条件极值会用到拉格朗日乘数法。值得注意的是，基于极值理论的股票市场VAR理论，以及多元函数的极值问题在经济学利润最大化，效用最大化和生活实际问题等领域有着极为广泛的应用。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：极值多种定义法，一阶可导点是极值点的必要条件，判定极值的第一充分条件，第二充分条件，以及关于当二阶导数无法判定时可以使用第三充分条件，闭区间上连续函数极值与最值的求法；关于多元函数无条件极值的判定法以及条件极值的拉格朗日条件极值判别法，高等代数运用正定和复定求二次型极值；极值在多种领域的实际应用。

拟解决的关键问题：主要讨论极值判定的三个充分性条件，闭区间上连续函数最值的求法，多元函数无条件极值和条件极值各自的判定方法，高等代数运用正定和复定求二次型极值以及极值在实际金融领域和生产生活中的应用问题。

3. 国内外研究现状

极值问题是数学课程中的一个重要问题，兼具理论性与实用性，极值问题与最值问题紧密相关，都在金融，经济领域和生产生活中作为一种数学定量工具发挥着举足轻重的作用，我们也看到，在现在的各种高等代数教材中，对于极值判定的必要条件，充分条件介绍较多，高等数学与数学分析分析了一元和多元极值极其应用，介绍了二元函数极值的判定法以及多元函数无条件极值的拉格朗日乘数法，我想在本篇论文中在详尽分析极值理论的基础上更加深入地讨论其在实际问题中的应用。

4. 计划与进度安排

撰写计划 1.第一部分讨论极值的多种定义，先对于一元函数极值的判定进行必要条件和充分条件的讨论，并结合最值问题讨论极值和最值的区别和求法。

2.第二部分上升到多元函数极值问题，研究二元函数极值判定的充分条件，多元函数的无条件极值，分析如何高等代数运用正定和复定求二次型极值。

3.最后，分析极值问题在金融领域和生产生活中的应用。

5. 参考文献

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数：高等教育出版社

[2]同济大学数学系编. 高等数学上册下册.第七版.北京：高等教育出版社

[3]华东师范大学数学系编.数学分析.第四版.北京：高等教育出版社