种群生态学模型的建模与奇点分析开题报告

1. 研究目的与意义

常微分方程的发展、形成与许多学科都有着密切的联系，例如几何学、物理学、化学、生物学、经济学甚至电子科技、航天航空等。在数学模型求解的问题上，常微分方程是最重要的知识工具。此继续探讨研究常微分方程在数学建模中的应用依然是有着及其重要的学术价值和及其深刻的现实意义。

数学生态学是用数学方法定量研究生态系统变化过程的学科。种群生态学是研究种群的，以一种的地区群体作为研究对象。现代种群生态学研究的内容包括种群的时空动态、种群之间的相互作用过程和种群的调节机理,是生态学研究的核心和基础。在近代的生态学研究中数学模型的建立和求解在生物数学中具有非常重要的作用。在自然条件下任何种群都是与生物群落中其他种群密切相关的,不能从其中孤立开来。利用计算机进行生态过程模拟实验，可以对生态领域的种群做出预测，对于保护生态环境，解决环境问题具有重要意义，也是现今生态领域研究的热点话题。

2. 研究内容和预期目标

1、常微分方程基本理论

2、奇点和极限环的概念

3、判断奇点稳定性的方法

3. 国内外研究现状

早在1798年，Malthus在研究人类的增长时，他引入数学方法，发表了《人口原理》一书，书中提出了著名的Malthus模型，这是一个单种群模型。它反应了人类数量的变化，在t不很长时是比较符合实际的，但当t→∞时种群规模将无限增长是不合实际的，究其原因在于它没有考虑到有限的资源对种 群增长的制约作用。针对这个模型，后人不断分析各种因素的影响，完善和改进这一模型，使之能较好地反应人口(单种群)的变化规律。P.F.Verhulst(1938年)建立的Logistic模型 ；E.M .W right(1945年)建立的有确定时滞的Logistic模型 ；P. M. Nisbet和W. S. C. Gurney(1984年)建立的具有生理阶段结构(stagestructure) 模型以及H. 1. Freedman研究的具有斑块迁移的单种群模型等，无一不是对Malthus模型的完善和扩展，极大地推动了种群动力学的发展现实世界中种群不可能单独存在，它必与相关种群相互作用，相互依存。tka-Volterra模型是种群动力学中最为经典和重要的两种群相互作用的动力学模型，该模型分别由意大利数学家Volterra(1923年)解释鱼群变化规律和美国种群学家Lotka(1921年)在研究化学反应时提出。 后来，Gause和Witt(1 935年)将两种群Lotka-Volterra*型一般化为更加一般型。

4. 计划与进度安排

1、介绍奇点及极限环的概念、判定奇点稳定性的方法；

2、通过查询相关文献，了解运用微分方程建立生物种群竞争模型和捕食模型的思想，并掌握分析种群生态学模型的简单方法；

3、对一些竞争模型和捕食模型相关结论进行数值模拟。

5. 参考文献

[1] kar t k.stability analysis of a prey-predator model incorporating a prey refuge[j]. commun nonlinear sci numer simul,2005,10(6):681-691.

[2] chen liu-juan,chen feng-de,chen li-juan.quanlitative analysis of a predator-prey model with holling type ii functional response incorporating a constant prey refuge[j].nonlinear anal:real world appl,2010,11(1):246-252.